Estensione normale
In matematica, e in particolare in teoria dei campi, un'estensione normale è un'estensione di campi algebrica tale che ogni polinomio irriducibile nell'anello dei polinomi che ha una radice in si spezza completamente in
Definizioni equivalenti
[modifica | modifica wikitesto]Vi sono molte caratterizzazioni equivalenti delle estensioni normali. Se infatti è un'estensione di campi, allora sono equivalenti:
- è un'estensione normale;
- se , allora tutte le radici del polinomio minimo di su sono in ;
- ogni automorfismo di una chiusura algebrica di che fissa è un automorfismo di ;
- è il campo di spezzamento su di una famiglia di polinomi di .
Quando l'estensione è anche finita, allora l'ultima di queste equivalenze può essere semplificata richiedendo che sia il campo di spezzamento di un singolo polinomio di .
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]- Il campo è un'estensione normale di ,in quanto esso è il campo di spezzamento di . Più in generale, qualsiasi estensione di grado 2 è normale.
- non è un'estensione normale di : infatti, ha come polinomio minimo , le cui altre due radici non sono reali, e quindi non possono essere contenute dentro (che è contenuto in ).
- Se è la chiusura algebrica di , allora è normale, in quanto ogni polinomio di si decompone linearmente in .
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]- Per definizione, un'estensione è di Galois se e solo se è normale e separabile.
- Se è un'estensione normale, e , allora anche è normale. In generale, invece, l'estensione non è normale.
- Se e sono estensioni normali, allora anche e (dove è il campo generato da ed ) sono normali. Lo stesso avviene per una quantità infinita di estensioni normali.
Chiusura normale
[modifica | modifica wikitesto]Se è un'estensione algebrica, esiste sempre un'estensione di che è la più piccola estensione normale di contenente ; essa è chiamata la chiusura normale di su , ed è unica a meno di isomorfismi.
Se (cioè se è generato su da un insieme ), allora la chiusura normale di su è generata dalle radici dei polinomi minimi su degli elementi di : ad esempio, la chiusura normale di su è uguale a , dove è una radice primitiva terza dell'unità.
In particolare, se è un'estensione finita anche la chiusura normale di su è un'estensione finita di .
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Eric W. Weisstein, Estensione normale, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Estensione normale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.